Análisis de las Relaciones PAR-ACELERACION-POTENCIA en coches de SLOT

Esto no es un manual de mecánica, ni un estudio dinámico estricto y exacto de las fuerzas que intervienen en el movimiento de un coche de Slot; lo que se pretende es relacionar de una forma aproximada y simple las magnitudes más importantes que se manejan, mediante ecuaciones sencillas y fácilmente comprensibles por cualquiera con unas nociones de matemáticas básicas y que nos permitan sacar conclusiones prácticas para aplicar a nuestra afición.

En mi planteamiento se han despreciado un buen número de factores que influyen en el movimiento, bien por considerarlos de magnitud despreciable frente a los otros factores analizados, bien por que su influencia es constante y por tanto no afectan a las relaciones aquí expuestas y si lo hacen es de forma lineal.

Para simplificar los cálculos, se ha planteado un sistema “ideal”, donde el rozamiento entre todas las partes móviles es cero o despreciable, los momentos de inercia de las partes en rotación también se han despreciado, la adherencia del neumático al suelo (tracción) es “perfecto”, transmitiéndose el movimiento de giro de las ruedas, “sin deslizamiento”, integro a la pista (adherencia infinita). La pista es perfectamente plana y perpendicular al radio terrestre, de forma que la gravedad no afecta al movimiento de traslación del vehículo, y la fuerza de rozamiento por rodadura es nula o despreciable al igual que la fuerza de rozamiento con el aire.

Como veis, el marco es meramente teórico y aunque no servirá para obtener datos numéricos “reales” si nos permitirá establecer las leyes que relacionan las magnitudes que conocemos como PAR, Fuerza, Aceleración, Trabajo y Potencia en nuestros coches de Slot.

Por otro lado y puesto que los parámetros que analizamos no son magnitudes constantes en el tiempo, sino que evolucionan en él, todos los cálculos deberían haberse expresado empleando cálculo diferencial. En lugar de eso analizaremos magnitudes instantáneas y magnitudes promedio para evitar llenar esto de derivadas e integrales que yo no domino y hacer que este asunto llegue a más gente que como yo tampoco domina el cálculo diferencial.

Hechas las presentaciones, veamos un primer plano de los protagonistas:

Trataremos de ver como se convierte el movimiento de rotación del motor en movimiento de traslación de nuestro bólido y algunos de los parámetros que regirán esta conversión.

Tenemos un motor M que gira sobre su eje longitudinal con una velocidad angular constante w_m entregando un par motriz PARm. Solidario al eje del motor acoplamos un piñón P de radio Rp que compartirá su par o momento angular PARp con el del motor de forma que el par del piñón PARp es igual al par del motor PARm:

PARp =PARm

Perfectamente engranada en el piñón y con módulo (nº de dientes por unidad de longitud) idéntico al de éste, tenemos una corona C de radio Rc que gira impulsada por la fuerza tangencial Fc (=Fp) que el piñón ejerce sobre ella en un punto de su perímetro y que provoca sobre el eje de giro de la corona un momento de giro o par PARc

Fc=Fp

Solidario al eje de la corona tenemos un conjunto formado por llanta+nuemático que llamaremos rueda R de radio Rr y que al estar acoplado solidario al eje de la corona comparte con esta su momento o par PARr que es por tanto igual al par de la corona PARc

PARr=PARc

Consecuencia de este momento angular o PARr en el punto del perímetro de la rueda que contacta con la pista se ejerce una fuerza Fr, tangencial a la rueda. Fr es la fuerza con que la rueda empuja hacia atrás a la pista.

Como sabemos por las leyes de la mecánica de Newton:

“a toda acción le corresponde una reacción igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario”.

Si la rueda empuja la pista hacia atrás con una fuerza Fr, la pista empuja a la rueda (y por tanto a nuestro bólido unido a ésta) con una fuerza de magnitud y dirección igual pero de sentido contrario, es decir hacia delante (-Fr). Puesto que lo único que nos interesa es la magnitud de la fuerza en valor absoluto, ignoraremos el signo que lo único que indica es el sentido.

Tenemos pues que la fuerza en valor absoluto que impulsa nuestro coche de slot es Fr.

Hasta este punto hemos despreciado un buen número de fenómenos presentes en el movimiento y vamos a despreciar algún otro de aquí en adelante.

Veamos algunos de los que soy consciente, pero seguro que hay otros que se quedan en el tintero:

- Los rozamientos: ejes del motor y la transmisión contra sus respectivos cojinetes/rodamientos, carbones contra colector, piñón contra corona, neumático contra pista, trencillas y guía contra el raíl, aire contra carrocería, …

- Los momentos de inercia de todas las partes que giran. Sabido es que todo lo que se mueve presenta una oposición a hacerlo. En realidad, para ser estrictos, la oposición se presenta a cambiar su “cantidad de movimiento” (masa · velocidad). Cualquier objeto (con masa ¹ 0) se resiste a acelerar o frenar. Algo parado se opone a empezar a moverse, algo en movimiento se opone a perder o ganar velocidad.

Esta oposición de un objeto a variar su cantidad de movimiento se llama inercia y las cosas que giran no iban a ser menos y también presentan su inercia al giro que es el momento de inercia y expresa la fuerza con la que se oponen a los cambios en la velocidad de giro. Este momento de inercia es importante pues se opone directamente al momento de giro de nuestro motor, es decir, a nuestro apreciado PAR MOTOR y se resta directamente del mismo.

Por tanto para maximizar nuestro Par Motor “Eficaz” (= Par motor – Momento de Inercia) debemos minimizar el momento de inercia de todas las partes en rotación.

El momento de inercia de un objeto en rotación es directamente proporcional a su masa y al radio respecto del eje de rotación donde se distribuye su masa. Como todos sabéis, al menos de forma empírica, la inercia de algo que gira es mayor cuanto más masa tiene y más alejada está del eje de giro. Por eso nos dejamos “muchos duros” en llantas de aluminio y/o magnesio y coronas con el alma de aluminio en vez de bronce. Y por eso, entre otras cosas, van mejor las llantas de 15mm que las de 17mm. Todas estas cosas, que hacemos de forma cotidiana sin saber su porqué, están reduciendo nuestro momento de inercia. Pero si os dais cuenta los ejes de carbono o huecos no afectan sustancialmente al momento de inercia pues si bien repercuten disminuyendo la masa en rotación, esta repercusión es menor pues esta masa está muy próxima al eje de giro y por tanto influye menos en el momento de inercia.

No vamos a detenernos más en esto, puesto que como hemos dicho este factor se ha despreciado en el análisis que nos ocupa pero tened en cuenta que está ahí.

- El Peso, la fuerza con que la gravedad terrestre atrae a nuestro bólido. Para el ejemplo que nos ocupa hemos supuesto que el peso no nos afecta, al suponer la pista perfectamente plana y perpendicular al radio de la tierra. Pero si la pista no es plana, tiene pendientes, subidas o bajadas, la fuerza que impulsa nuestro coche (Fr) no será totalmente horizontal sino que tendrá una componente vertical opuesta al peso cuando el coche suba o favorecida por el peso en el caso de que el coche baje. Todos somos conscientes de las consecuencias prácticas de esto.

- La adherencia del neumático en el punto de contacto con la pista. Este agarre lo hemos supuesto infinito. La fuerza Fr, desarrollada por nuestra rueda en contacto con la pista, se transmite integra a la pista obteniendo una fuerza de reacción idéntica en sentido opuesto, que impulsará el movimiento de nuestro vehículo. Ya que la pista no puede moverse, por estar fija a la tierra, la fuerza de reacción se manifiesta en forma de movimiento de traslación de nuestro vehículo hacia delante al ser éste el objeto “libre” de los que componen el sistema.

Todos sabéis que este “ideal” teórico no es cierto (ojalá) y que esa fuerza Fr no se manifiesta integra en forma de movimiento, sino que una buena parte del trabajo realizado por esa fuerza se pierde en forma de calor y desgaste en nuestros neumáticos, calor producido por el rozamiento de los mismos deslizando sobre la pista.

Desde el punto de vista práctico, de nada nos sirve que Fr sea muy grande (luego veremos que Fr está en relación directa con PARm) si toda o gran parte de esa fuerza se desperdicia patinando cuando abrimos el gas. Para que Fr se transmita integra a la pista y se traduzca enteramente en movimiento de nuestro coche, la fuerza del agarre entre los neumáticos y la pista habría de ser mayor o igual a Fr.

Pero de vuelta a la realidad veamos que parámetros influyen en la adherencia y como afectarían al movimiento de tenerlos en cuenta.

- Los coeficientes de fricción entre el neumático y la pista en el punto de contacto entre ambos, influidos por sus respectivos materiales, textura de las superficies, estructura y deformación de las mismas.

- Presión ejercida en el punto de contacto, influida por el peso del vehículo y la distribución del mismo, es decir, la posición de su centro de masas (centro de gravedad) respecto del punto de contacto entre el neumático y la pista.

Todos sabemos que aumentando estos parámetros aumenta el agarre y por tanto es mayor la parte de Fr que se aprovecha en el movimiento, pero el aumento de estos parámetros que por un lado nos favorece, nos perjudica en otros aspectos: la fuerza de rozamiento entre el neumático y la pista que se opone al movimiento, la manejabilidad del vehículo,… Habrá pues que buscar un compromiso pero eso ya es otra historia y sólo lo comento para que lo tengáis presente, pero en el actual asunto …

Para simplificar los cálculos de nuestro análisis trabajaremos con el supuesto teórico ideal de agarre o adherencia infinito.

Tras este paréntesis retomemos el asunto donde había quedado.

Tenemos pues que la fuerza en valor absoluto que impulsa nuestro coche de slot es Fr.

Echaremos mano de nuevo de Sir Isaac y de algunas de sus ecuaciones de la mecánica clásica:

PAR = F · R donde F es la fuerza tangencial al giro y R la distancia al eje de rotación.

F = m · a donde F es la fuerza empleada en acelerar la masa m y a la aceleración resultante.

Vamos a tratar de expresar Fr en función de PARm , el par motor:

De la aplicación directa de la 1ª de las ecuaciones sobre nuestros protagonistas resulta que …

Expresado en función de la fuerza …

Tomamos la última de estas ecuaciones y empezamos a sustituir en ella empleando las igualdades que vimos al principio…

Empleemos ahora nuestra segunda ecuación (F = m · a) donde m es la masa del coche y a la aceleración resultante de aplicar Fr.

y despejando la aceleración:

Aquí tenemos el primero de nuestros resultados, algo que empíricamente ya conocíamos, de lo que ahora tenemos una explicación teórica:

“La aceleración es directamente proporcional al PAR motor y el radio de la corona e inversamente proporcional al radio del piñón, al radio de la rueda y a la masa total del vehículo.”

Analicemos ahora que sucede con el trabajo y la potencia. Para ello usaremos dos nuevas ecuaciones de la mecánica clásica:

W = F · S donde W es el trabajo desarrollado por la fuerza F para recorrer el espacio S.

P = W / t donde P es la potencia empleada para realizar el trabajo W en el tiempo t.

Como expusimos en un principio no vamos a emplear cálculo diferencial, luego no podemos obtener los valores instantáneos de estas magnitudes; en su lugar nos conformaremos con los valores promedio para una vuelta de rueda. Llamaremos por tanto Wr al trabajo realizado por Fr para hacer girar una vuelta completa nuestra rueda R. Llamaremos a su vez Pr a la potencia desarrollada en ese giro.

Para calcular Wr necesitamos conocer el espacio recorrido por la rueda en una vuelta, como hemos supuesto que no existe deslizamiento, este espacio coincide con la longitud de la circunferencia de la rueda.

Sr = 2p · Rr

Si reemplazamos en la ecuación de trabajo...

y simplificando:

Lo primero que llama la atención es que el radio de la rueda no influye en el trabajo y como veremos a continuación tampoco en la potencia.

Conocido el trabajo Wr, para despejar la potencia Pr nos falta una pieza: el tiempo t_r. Éste es el tiempo empleado por la rueda en dar una vuelta completa y vendrá determinado por la velocidad del motor y el factor de des-multiplicación aportado por el conjunto piñón-corona.

Llamaremos w_ma la velocidad angular del motor en revoluciones por segundo (r.p.s.) y w_r a la velocidad de giro de la rueda en la misma unidad. Tenemos que ...

w_m · nº de dientes del piñón = w_r · nº de dientes de la corona

Puesto que para engranar correctamente piñón y corona han de tener idéntico módulo (nº de dientes por unidad de longitud) podemos expresar el nº de dientes de ambos en función de la longitud de sus circunferencias. La ecuación anterior quedaría:

w_m · 2p · Rp = w_r · 2p · Rc

y despejando w_r ...

(r.p.s.)

pero no necesitamos la velocidad de la rueda, sino el tiempo empleado por ésta en dar una vuelta completa. Este tiempo es la inversa de la velocidad:

Una vez listas todas las piezas compongamos el puzzle sustituyéndolas en nuestra ecuación de potencia:

y simplificando...

Donde Pr es la potencia desarrollada al hacer girar la rueda una vuelta por el par motor PARm a la velocidad w_m.

Como vemos la potencia nada tiene que ver con la transmisión que montemos y sólo intervienen en ella dos factores: el Par Motor y la velocidad.